Question

已知函數(shù)f(x)=x2+

a

x

(x≠0，a∈R)
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）求函數(shù)y=(

2

3

)x2+

2

x

，x∈[2，+∞）的值域．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=0時，f（x）=x²為偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時，根據(jù)f（-x）≠±f（x），可得結(jié)論．
（2）當(dāng)x≥2時根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號可得g（x）=x²+

2

x

在區(qū)間[2，+∞）是增函數(shù)，t=g（x）≥5．再根據(jù) y=(

2

3

)t，t∈[5，+∞)是減函數(shù)，求得函數(shù)y的值域．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時，顯然f（x）=x²為偶函數(shù)；
當(dāng)a≠0時，由于f（-x）≠±f（x），故f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
（2）∵當(dāng)x≥2時，令函數(shù)g（x）=x²+

2

x

，則g′（x）=2x-

2

x2

=

2(x3-1)

x2

≥0，
所以g（x）在區(qū)間[2，+∞）是增函數(shù)，且其最小值是g（2）=5．
令t=g（x），則t≥5，且y=(

2

3

)t．
再根據(jù) y=(

2

3

)t，t∈[5，+∞)是減函數(shù)，∴y≤(

2

3

)5=

32

243

，再根據(jù)y＞0，
可得所求的函數(shù)值域是(0，

32

243

]．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域．