Question

15．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在坐標(biāo)軸上，離心率為$\sqrt{2}$，且過點(diǎn)（4，-$\sqrt{10}$），點(diǎn)M（3，m）在雙曲線上．
（1）求雙曲線方程；
（2）求證：MF₁⊥MF₂；
（3）從雙曲線的左焦點(diǎn)F₁引以原點(diǎn)為圓心，實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑的圓的切線，求切線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）離心率為$\sqrt{2}$，a=b，設(shè)雙曲線方程為x²-y²=λ（λ≠0）．雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（4，-$\sqrt{10}$），代入求出λ，即可求雙曲線方程；
（2）證明${k}_{M{F}_{1}}$${k}_{M{F}_{2}}$=-1，即可證明：MF₁⊥MF₂；
（3）求出圓的方程為x²+y²=6，可得切線方程與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵e=$\sqrt{2}$，∴a=b，…（1分）
∴設(shè)雙曲線方程為x²-y²=λ（λ≠0）．…（2分）
∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（4，-$\sqrt{10}$），∴16-10=λ，即λ=6．…（3分）
∴雙曲線方程為x²-y²=6．…（4分）
（2）由（1）可知，在雙曲線中a=b=$\sqrt{6}$，∴c=2$\sqrt{3}$，
∴F₁（-2$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（2$\sqrt{3}$，0），…（5分）
∴${k}_{M{F}_{1}}$=$\frac{m}{3+2\sqrt{3}}$，${k}_{M{F}_{2}}$=$\frac{m}{3-2\sqrt{3}}$，…（6分）
又∵點(diǎn)M（3，m）在雙曲線上，∴9-m²=6，
∴m²=3，
∴${k}_{M{F}_{1}}$${k}_{M{F}_{2}}$=-1，…（7分）
∴MF₁⊥MF₂，…（8分）
（3）由（1）知a=b=$\sqrt{6}$，所以圓的方程為x²+y²=6，切線方程y=±（x+2$\sqrt{3}$），…（10分）
交點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，±$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．