Question

6．數學家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知△ABC的頂點A（2，0），B（0，4），若其歐拉線的方程為x-y+2=0，則：
（1）△ABC的外接圓方程為（x+1）²+（y-1）²=10；
（2）頂點C的坐標是（-4，0）．

Answer 1

分析 設出點C的坐標，由重心坐標公式求得重心，代入歐拉線得一方程，求出AB的垂直平分線，和歐拉線方程聯(lián)立求得三角形的外心，由外心到兩個頂點的距離相等得另一方程，兩方程聯(lián)立求得點C的坐標．

解答 解：：設C（m，n），由重心坐標公式得，三角形ABC的重心為（$\frac{2+m}{3}$，$\frac{4+n}{3}$），
代入歐拉線方程得：$\frac{2+m}{3}$-$\frac{4+n}{3}$+2=0，
整理得：m-n+4=0  ①
AB的中點為（1，2），k_AB=$\frac{4-0}{0-2}$=-2，
AB的中垂線方程為y-2=$\frac{1}{2}$（x-1），即x-2y+3=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+3=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得x=-1，y=1．
∴△ABC的外心為（-1，1）．
則（m+1）²+（n-1）²=3²+1²=10，
整理得：m²+n²+2m-2n=8  ②
聯(lián)立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．
當m=0，n=4時B，C重合，舍去．
∴頂點C的坐標是（-4，0）．
△ABC的外接圓方程為（x+1）²+（y-1）²=10
故答案為：（x+1）²+（y-1）²=10；（-4，0）．

點評 本題考查直線方程的求法，訓練了直線方程的點斜式，考查了方程組的解法，是基礎的計算題．