Question

17．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別似乎a，b，c，且a=2，2cos²$\frac{B+C}{2}$+sinA=$\frac{4}{5}$．
（1）若b=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，求角B；
（2）求△ABC周長l的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式及三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式化簡已知可得sinA=cosA-$\frac{1}{5}$，兩邊平方整理可得：25cos²A-5cosA-12=0，解得cosA，sinA的值，由正弦定理可得sinB的值，從而可求B的值．
（2）由（1）及正弦定理可得：$\frac{2}{\frac{3}{5}}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，從而由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可求△ABC周長l=2+$\frac{10}{3}$（sinB+sinC）=2+2$\sqrt{10}$sin（B+φ），其中，tanφ=$\frac{1}{3}$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解．

解答 解：（1）∵2cos²$\frac{B+C}{2}$+sinA=$\frac{4}{5}$，可得：1+cos（B+C）+sinA=$\frac{4}{5}$，
∴sinA=cosA-$\frac{1}{5}$，兩邊平方整理可得：25cos²A-5cosA-12=0，解得：cosA=$\frac{4}{5}$或-$\frac{3}{5}$．
∴sinA=$\frac{3}{5}$，或-$\frac{4}{5}$（舍去），
∵a=2，b=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴由正弦定理可得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\frac{5\sqrt{3}}{3}×\frac{3}{5}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．
（2）∵sinA=$\frac{3}{5}$，cosA=$\frac{4}{5}$，a=2，
∴利用正弦定理可得：$\frac{2}{\frac{3}{5}}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{10}{3}$，
∴△ABC周長l=a+b+c=2+b+c=2+$\frac{10}{3}$（sinB+sinC）=2+$\frac{10}{3}$（sinB+sin（B+A））
=2+$\frac{10}{3}$（sinB+sinBcosA+cosBsinA）
=2+$\frac{10}{3}$（sinB+$\frac{4}{5}$sinB+$\frac{3}{5}$cosB）
=2+$\frac{10}{3}$（$\frac{9}{5}$sinB+$\frac{3}{5}$cosB）
=2+2（3sinB+cosB）
=2+2$\sqrt{10}$sin（B+φ），其中，tanφ=$\frac{1}{3}$．
∴當(dāng)sin（B+φ）=1時(shí)，可得△ABC周長l的最大值為：2+2$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了倍角公式及三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式，正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．