Question

18．如圖①，這個(gè)美妙的螺旋叫做特奧多魯斯螺旋，是由公元5世紀(jì)古希臘哲學(xué)家特奧多魯斯給出的，螺旋由一系列直角三角形組成（圖②），第一個(gè)三角形是邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，以后每個(gè)直角三角形以上一個(gè)三角形的斜邊為直角邊，另一個(gè)直角邊為1．將這些直角三角形在公共頂點(diǎn)處的角依次記為α₁，α₂，α₃，…，則與α₁+α₂+α₃+α₄最接近的角是（　�。�
參考值：tan55°≈1.428，tan60°≈1.732，tan65°≈2.145，$\sqrt{2}≈1.414$

• A． 120°
• B． 130°
• C． 135°
• D． 140°

Answer 1

分析 由題意利用直角三角形中的邊角關(guān)系，可得α₁=45°，α₃=30°，再利用兩角和的正切公式求得tan（α₂+α₄） 的值，可得α₂+α₄ 的值．

解答 解：由題意可得，α₁、α₂、α₃、α₄最都是銳角，且α₁=45°，tanα₂=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，tanα₃=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴α₃=30°，tanα₄=$\frac{1}{\sqrt{4}}$=$\frac{1}{2}$，∴α₁+α₃=75°．
又tan（α₂+α₄）=$\frac{ta{nα}_{2}+ta{nα}_{4}}{1-ta{nα}_{2}•ta{nα}_{4}}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{1}{2}}$=$\frac{6+5\sqrt{2}}{7}$≈1.87≈tan60°，
故（α₂+α₄）接近60°，故與α₁+α₂+α₃+α₄最接近的角是75°+60°=135°，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和的正切公式的應(yīng)用，直角三角形中的邊角關(guān)系，屬于中檔題．