Question

6．設函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，f（x+π）=-f（x），當0≤x≤$\frac{π}{2}$時，f（x）=cosx-1，則-2π≤x≤2π時，f（x）的圖象與x軸所圍成圖形的面積為（　�。�

• A． 4π-8
• B． 2π-4
• C． π-2
• D． 3π-6

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)的周期是2π，分別求出函數(shù)的解析式，利用積分的應用即可得到結論

解答 解：由f（x+π）=-f（x）得f（x+2π）=f（x），
即函數(shù)的周期是2π，
若-$\frac{π}{2}$≤x≤0，則0≤-x≤$\frac{π}{2}$，
即f（-x）=cos（-x）-1=cosx-1，
∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=cosx-1=-f（x），
即f（x）=1-cosx，-$\frac{π}{2}$≤x≤0，
∵函數(shù)的周期是2π，
∴當$\frac{3π}{2}$＜x≤2π時，-$\frac{π}{2}$＜x-2π≤0，
即f（x）=f（x-2π）=1-cos（x-2π）=1-cosx，
當$\frac{π}{2}$＜x≤π時，-$\frac{π}{2}$＜x-π≤0，
即f（x）=-f（x-π）=cos（x-π）-1=-cosx-1，
當π＜x≤$\frac{3π}{2}$時，0≤x-π≤$\frac{π}{2}$，
即f（x）=-f（x-π）=-cos（x-π）+1=cosx+1，
綜上：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{cosx-1，0≤x≤\frac{π}{2}}\\{-cosx-1，\frac{π}{2}＜x≤π}\\{cosx+1，π＜x≤\frac{3π}{2}}\\{1-cosx，\frac{3π}{2}＜x≤2π}\end{array}\right.$，
則由積分的公式和性質(zhì)可知當-2π≤x≤2π時，f（x）的圖象與x軸所圍成圖形的面積
S=2${∫}_{0}^{2π}f（x）dx$=4${∫}_{0}^{π}f（x）dx$=8${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}f（x）dx$=8|${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}（cosx-1）dx$|=8（x-sinx）|${\;}_{0}^{\frac{π}{2}}$=4π-8．
故選A．

點評 本題主要考查利用積分求面積，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性分別求出對應的解析式是解決本題的關鍵．運算量較大，有一定的難度