Question

已知F₁、F₂分別為橢圓

x2

100

+

y2

64

=1的左、右焦點(diǎn)，橢圓內(nèi)一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，-6），P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試分別求：
（1）|PM|+

5

3

|PF₂|的最小值；
（2）|PM|+|PF₂|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出右準(zhǔn)線，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥l于點(diǎn)N，運(yùn)用第二定義，可得PM|+

5

3

|PF₂|=|PM|+|PN|，再由三點(diǎn)共線可得距離最短，即可得到所求值；
（2）運(yùn)用橢圓的第一定義，|PM|+|PF₂|=|PM|-|PF₁|+20，再由有向線段

MF1

的延長(zhǎng)線即可得到最值．

解答： 解：（1）橢圓右準(zhǔn)線l：x=

50

3

，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥l于點(diǎn)N，
如圖所示則由橢圓的第二定義知 

|PF2|

|PN|

=e=

3

5

，
于是|PN|=

5

3

|PF₂|，所以|PM|+

5

3

|PF₂|=|PM|+|PN|≥d（M，l），
其中d（M，l）表示點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離，
易求得：d（M，l）=

44

3

所以|PM|+

5

3

|PF₂|的最小值為

44

3

（此時(shí)點(diǎn)P為過(guò)點(diǎn)M且垂直于l的線段與橢圓的交點(diǎn)）
（2）由橢圓的定義知|PF₂|+|PF₁|=2a=20，
故|PM|+|PF₂|=|PM|-|PF₁|+20
1?|PM|-|PF₁|≤|MF₁|=10，
故|PM|+|PF₂|≤30（當(dāng)且僅當(dāng)P為有向線段

MF1

的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取“=”）；
2?|PF₁|-|PM|≤|MF₁|=10，
故|PM|+|PF₂|=20-（|PF₁|-|PM|）≥10（當(dāng)且僅當(dāng)P為有向線段

MF1

的反向延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取“=”）   
綜上可知，|PM|+|PF₂|的取值范圍為[10，30]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程、定義和性質(zhì)，注意運(yùn)用橢圓的兩個(gè)定義，以及兩點(diǎn)之間線段最短，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．