Question

設函數(shù)g（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx+c（a，b∈R）的圖象經(jīng)過原點，在其圖象上一點P（x，y）處的切線的斜率記為f（x）．
（Ⅰ）若方程f（x）=0有兩個實根分別為-2和4，求f（x）的表達式；
（Ⅱ）若g（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求a²+b²的最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（I）由函數(shù)g（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx+c（a，b∈R）的圖象經(jīng)過原點，可得c=0，由P（x，y）處的切線的斜率記為f（x）．可得f（x）=g′（x），根據(jù)方程f（x）=0有兩個實根分別為-2和4，結(jié)合韋達定理可得a，b的值，進而得到f（x）的表達式；
（Ⅱ）若g（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)，在區(qū)間[-1，3]上f（x）=g′（x）=x²+ax+b≤0恒成立，則

f(-1)≤0 f(3)≤0

，即

a-b≥1 3a+b≤-9

，畫出滿足條件的可行域，分析a²+b²的幾何意義，數(shù)形結(jié)合，可得答案．

解答： 解：（I）∵函數(shù)g（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx+c（a，b∈R）的圖象經(jīng)過原點，
∴c=0，
則g（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx，f（x）=g′（x）=x²+ax+b，
∵方程f（x）=0有兩個實根分別為-2和4，
∴

-2+4=-a -2×4=b

，
解得：

a=-2 b=-8

，
∴f（x）=x²-2x-8，
（Ⅱ）若g（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)，
則在區(qū)間[-1，3]上f（x）=g′（x）=x²+ax+b≤0恒成立，
則

f(-1)≤0 f(3)≤0

，即

a-b≥1 3a+b≤-9

，
其對應的平面區(qū)域如下圖所示：

而a²+b²表示可行域內(nèi)的點到原點距離的平方，
所以當

a=-2 b=-3

時，a²+b²有最小值13

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)解析式的求法，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，線性規(guī)劃，是函數(shù)，導數(shù)，不等式的綜合應用，難度中檔．