Question

已知

a

=（sinx，cosx），

b

=（sinx，k}），

c

=（-2cosx，sinx-k），k∈R．
（1）若f（x）=

a

•(

b

+

c

)，求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)

d

=（1，1），若g（x）=（

b

•

c

）sinx+k²（

b

•

d

），設(shè)h（k）為g（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值，求h（k）的解析式．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換求得f（x）=

1

2

-

2

2

sin（2x+

π

4

），再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，求得f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由題意可得，g（x）=-2（1-cos²x）cosx+k（1-cos²x）+k³，令t=cosx∈[0，1]，則g（x）=2t³-kt²-2t+k³+k．
記 F（t）=2t³-kt²-2t+k³+k，t∈[0，1]，則F¹（t）=2（3t²-kt-1），t∈[0，1]．由△＞0，F(xiàn)¹（0）=-1＜0，分類討論，通過函數(shù)F（t）的單調(diào)性求得F（t）的最大值，可得h（k）的解析式

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

•(

b

+

c

)=（sinx，cosx）•（sinx-2cosx，sinx）=sin²x-2sinxcosx+sinxcosx=

1

2

-

2

2

sin（2x+

π

4

）．
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=π．
令f（x）的增區(qū)間，即函數(shù)y=sin（2x+

π

4

）的減區(qū)間，令2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，
故y=sin（2x+

π

4

）的減區(qū)間為[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

](k∈Z)，故要求的函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

](k∈Z)．
（2）由題意可得，g（x）=（

b

•

c

）sinx+k²（

b

•

d

）=（-2sinxcosx+ksinx-k²）sinx+k²（sinx+k）
=-2（1-cos²x）cosx+k（1-cos²x）+k³，
令t=cosx∈[0，1]，則g（x）=2t³-kt²-2t+k³+k．
記 F（t）=2t³-kt²-2t+k³+k，t∈[0，1]，則F¹（t）=2（3t²-kt-1），t∈[0，1]．
∵△＞0，F(xiàn)¹（0）=-1＜0，分兩種情形討論：
①當(dāng)F¹（1）=2-k≤0，即k≥2時，有F¹（x）≤0在[0，1]恒成立，故F（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，
此時F(x)max=F(0)=k3+k．
②當(dāng)F¹（1）=2-k＞0，即k＜2時，有F¹（x）=0在（0，1）上存在唯一的根x₀，
從而F（x）在[0，x₀]上單調(diào)遞減，在[x₀，1]上單調(diào)遞增．
∵F（0）=k³+k，F(xiàn)（1）=k³，∴當(dāng)0＜k＜2時，F(x)max=F(0)=k3+k，當(dāng)k≤0時，F(x)max=F(1)=k3，
綜上，h（x）=F(x)max=

k3+k (k＞0) k3(k≤0)

．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，求三次函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．