Question

如果正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中EF分別是BB₁、CD中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥D₁F；
（2）求證：平面AED⊥平面A₁FD₁；
（3）若AB=2，求VE-AA1F．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的性質(zhì),平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）通過證明AD⊥平面CDD₁C₁，然后利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理證明AD⊥D₁F；
（2）通過證明D₁F⊥平面ADE，然后利用平面與平面垂直的判定定理證明平面AED⊥平面A₁FD₁；
（3）利用AB=2，通過等體積求解，求出底面面積，即可求VE-AA1F．

解答： （1）證明：由正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁⇒AD⊥DD₁，AD⊥DC，DD₁∩DC=D，∴AD⊥平面CDD₁C₁，
∵D₁F?平面CDD₁C₁，∴AD⊥D₁F；
（2）證明：在AB上取中點(diǎn)F₁，則A₁F₁∥D₁F，又在正方形ABB₁A₁中可證AE⊥A₁F₁，⇒AE⊥D₁F，
又∵AD⊥D₁F，AE∩AD=A，∴D₁F⊥平面ADE，D₁F?平面A₁FD₁
∴平面AED⊥平面A₁FD₁；
（3）解：∵S△AA1E=S△AA1B=2，
∴VF-AA1E=VF-AA1B=

1

3

•2•2=

4

3

．

點(diǎn)評：本題考查幾何體的體積的求法，直線與平面垂直，平面與平面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查空間想象能力，邏輯推理能力．轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．