Question

在空間幾何體PQ-ABC中，PA⊥平面ABC，平面QBC⊥平面ABC，AB=AC，QB=QC．
（1）求證：PA∥平面QBC；
（2）若PQ⊥平面QBC，試比較三棱錐Q-PBC與P-ABC的體積的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專(zhuān)題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取BC中點(diǎn)D，連QD，證明QD⊥平面ABC，利用PA⊥平面ABC，即可證明PA∥平面QBC；
（2）證明AD⊥平面QBC，利用PQ⊥平面QBC，可得PQ∥AD，四邊形APQD是矩形，即可證明V_Q-PBC=V_P-ABC．

解答： 證明：（1）
如圖，取BC中點(diǎn)D，連QD，
由QB=QC得QD⊥BC，∵平面QBC⊥平面ABC，
∴QD⊥平面ABC，
又∵PA⊥平面ABC，
∴QD∥PA，
又∵QD?平面QBC，
∴PA∥平面QBC．
（2）解：連接AD，則AD⊥BC．
∵平面QBC⊥平面ABC，面QBC∩面ABC=BC，
∴AD⊥平面QBC．
又∵PQ⊥平面QBC，∴PQ∥AD．
又由（1）知，四邊形APQD是矩形，證明：（1）如圖，取BC中點(diǎn)D，連QD，
由QB=QC得QD⊥BC，∵平面QBC⊥平面ABC，
∴QD⊥平面ABC，
又∵PA⊥平面ABC，
∴QD∥PA，
又∵QD?平面QBC，
∴PA∥平面QBC．
（2）連接AD，則AD⊥BC．
∵平面QBC⊥平面ABC，面QBC∩面ABC=BC，
∴AD⊥平面QBC．
又∵PQ⊥平面QBC，∴PQ∥AD．
又由（1）知，四邊形APQD是矩形，
∴PQ=AD，PA=QD．
∴V_Q-PBC=V_P-QBC=

1

3

•（

1

2

BC•QD）•PQ，
而V_P-ABC=

1

3

•（

1

2

BC•AD）•PA，則V_Q-PBC=V_P-ABC．
∴PQ=AD，PA=QD．
∴V_Q-PBC=V_P-QBC=

1

3

•（

1

2

BC•QD）•PQ，
而V_P-ABC=

1

3

•（

1

2

BC•AD）•PA，則V_Q-PBC=V_P-ABC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用線面平行的判定定理是關(guān)鍵．