Question

12．已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a^xg（x）（a＞0，a≠1），$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$，則實數(shù)a的值為2．

Answer 1

分析 先根據(jù)題意設(shè)h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x，再求出其導數(shù)結(jié)合f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），判斷出函數(shù)是增函數(shù)，然后根據(jù)$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$求出a的數(shù)值即可得到答案．

解答 解：根據(jù)題意可得：g（x）≠0，所以設(shè)h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x，
則h′（x）=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{{g}^{2}（x）}$=a^xlna
因為f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），
所以h′（x）＞0，
所以函數(shù)h（x）是定義在R上的增函數(shù)．
又因為$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$，
所以a+$\frac{1}{a}$=$\frac{5}{2}$
即2a²-5a+2=0，
所以a=2或a=$\frac{1}{2}$，
所以a=2．
故答案為2．

點評 本題考查導數(shù)的運算、導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，考查學生靈活解決問題的能力，屬于中檔題