Question

3．已知圓C：x²+y²-4x-6y+9=0及直線l：2mx-3my+x-y-1=0（m∈R）
（1）證明：不論m取何值，直線l與圓C恒相交；
（2）求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)的直線方程．

Answer 1

分析 （1）由l：2mx-3my+x-y-1=0得m（2x-3y）+x-y-1=0，所以直線l總過(guò)定點(diǎn)P（3，2），判斷點(diǎn)P（3，23）在圓內(nèi)，即可證明結(jié)論；
（2）當(dāng)直線l過(guò)定點(diǎn)P（3，2）且垂直于過(guò)點(diǎn)P的圓C的半徑時(shí)，l被截得的弦長(zhǎng)|AB|最短．

解答 解：由x²+y²-4x-6y+9=0得（x-2）²+（y-3）²=4
∴圓C的圓心為（2，3），半徑為2…（2分）
（1）證明：由l：2mx-3my+x-y-1=0得m（2x-3y）+x-y-1=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y=0}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴不論m取何值，直線l恒過(guò)點(diǎn)P（3，2）…．（4分）
∵3²+2²-12-12+9=-2＜0，
∴點(diǎn)P（3，2）在圓C內(nèi)
所以不論m取何值，直線l與圓C恒相交…．（6分）
（2）當(dāng)直線l垂直CP時(shí)，直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短，
∵k_CP=-1，
所以所求的直線方程為y=x-1…．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．