Question

(2014·武漢模擬)已知點(diǎn)P是圓M：x2+(y+m)2=8(m>0,m≠)上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N(0,m)是圓M所在平面內(nèi)一定點(diǎn),線(xiàn)段NP的垂直平分線(xiàn)l與直線(xiàn)MP相交于點(diǎn)Q.

(1)當(dāng)P在圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí),記動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為曲線(xiàn)Г,判斷曲線(xiàn)Г為何種曲線(xiàn),并求出它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)過(guò)原點(diǎn)斜率為k的直線(xiàn)交曲線(xiàn)Г于A,B兩點(diǎn),其中A在第一象限,且它在x軸上的射影為點(diǎn)C,直線(xiàn)BC交曲線(xiàn)Г于另一點(diǎn)D,記直線(xiàn)AD的斜率為k′,是否存在m,使得對(duì)任意的k>0,都有|k·k′|=1?若存在,求m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

（1）雙曲線(xiàn) -=1

（2）存在，m=

【解析】(1)因?yàn)閨QN|=|QP|,

所以||QM|-|QN||=|PM|=2.

①當(dāng)2<2m時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡曲線(xiàn)Г為以點(diǎn)M,N為焦點(diǎn),2a=2為實(shí)軸的雙曲線(xiàn),其標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.

②當(dāng)2>2m時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q無(wú)軌跡.

(2)如圖所示,

設(shè)A(x1,y1),D(x0,y0),則B(-x1,-y1),C(x1,0).

則y1=kx1.

直線(xiàn)BC的方程為y=(x-x1),即y=(x-x1).

聯(lián)立化為(m2k2-2k2-8)x2-2k2(m2-2)x1x+(m2-2)(k2-8)=0.

所以-x1+x0=,

所以k′==

=-.

若存在m,使得對(duì)任意的k>0,都有|k·k′|=1,

則=1,

整理得m2=6,解得m=±(負(fù)值舍去).

因此存在m,且當(dāng)m=時(shí),滿(mǎn)足題意.