Question

12．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，過AC且與直線D₁B平行的截面交D₁D于點M，則△MAC的面積為=$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 連接BD，交AC于O點，取DD₁的中點M，連接OM，求出△MAC的底面邊長和高，代入三角形面積公式，可得答案．

解答 解：如下圖所示：

連接BD，交AC于O點，取DD₁的中點M，連接OM，
則OM∥D₁B，
由OM?平面MAC，D₁B?平面MAC，
故此時平面MAC，即為過AC且與直線D₁B平行的截面，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，
∴△MAC的底邊長2$\sqrt{2}$，高OM=$\sqrt{{OD}^{2}+{DM}^{2}}$=$\sqrt{{\sqrt{2}}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
故△MAC的面積S=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$=$\sqrt{6}$，
故答案為：$\sqrt{6}$．

點評 本題考查的知識點是正方體的幾何特征，線面平行的幾何特征，三角形面積公式，難度中檔．