Question

【題目】如圖，AC=2ED，AC∥平面EDB，AC⊥平面BCD，平面ACDE⊥平面ABC．

（Ⅰ）求證：AC∥ED；
（Ⅱ）求證：DC⊥BC；
（Ⅲ）當(dāng)BC=CD=DE=1時(shí)，求二面角A﹣BE﹣D的余弦值；
（Ⅳ）在棱AB上是否存在點(diǎn)P滿足EP∥平面BDC；
（Ⅴ）設(shè) =k，是否存在k滿足平面ABE⊥平面CBE？若存在求出k值，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）因?yàn)锳C∥平面EDB，平面ACDE∩平面EDB=ED，
且AC平面EDB，
所以AC∥ED．
（Ⅱ）證法1：因?yàn)锳C⊥平面BCD，所以AC⊥CD，
因?yàn)槠矫鍭CDE⊥平面ABC，且平面ACDE∩平面ABC=AC，CD平面ACDE，
所以CD⊥平面ABC，
所以CD⊥CB．
證法2：因?yàn)锳C⊥平面BCD，所以AC⊥CD，AC⊥CB，
因?yàn)槠矫鍭CDE∩平面ABC=AC，
所以∠DCB為二面角D﹣AC﹣B的平面角，
又因?yàn)槠矫鍭CDE⊥平面ABC，
所以∠DCB=90°，即CD⊥CB．
（Ⅲ）解:由（Ⅱ）證明可知AC⊥CD，AC⊥CB，CD⊥CB，
所以如圖，以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)锽C=CD=DE=1，所以A（2，0，0），B（0，1，0），D（0，0，1），E（1，0，1），
所以 ，
設(shè)平面BDE的法向量為 =（x，y，z），則 ，取y=1，得 =（0，1，1）．
設(shè)平面ABE的法向量為 =（a，b，c），則 ．
所以cos＜ ＞= = ，
所以，依據(jù)題意可得二面角A﹣BE﹣D的余弦值為 ．
（Ⅳ）解法1：取AC中點(diǎn)F，連接EF，過點(diǎn)F作FP∥BC交AB于點(diǎn)P，
所以P為AB中點(diǎn)．
因?yàn)锳C=2ED，AC∥ED，所以 ，所以EF∥CD．
所以平面EFP∥平面BCD，
所以EP∥平面BCD．
解法2：設(shè) ，則 ，
由（Ⅱ）證明可知平面BCD的一個(gè)法向量為 =（1，0，0），
由 =1﹣2λ=0=0，得 ，
所以當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，AP與平面BCD成角為0°，
所以當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，AP∥平面BCD．
（Ⅴ）設(shè)AC=2a，則A（2a，0，0），E（a，0，ka），B（0，b，0），
則 ，
設(shè)平面CBE的法向量為 =（x1 ， y1 ， z1）， =（a，0，ka）， =（0，b，0），
由 ，取x1=k，得 =（k，0，﹣1），
設(shè)平面ABE的法向量 =（x2 ， y2 ， z2），
由 ，取z2=1，得 =（k， ，1），
因?yàn)槠矫鍭BE⊥平面CBE，所以 =k2﹣1=0，由k＞0，得k=1．
所以當(dāng)k=1時(shí)，平面ABE⊥平面CBE．

【解析】（Ⅰ）由AC∥平面EDB，平面ACDE∩平面EDB=ED，能證明AC∥ED．（Ⅱ）法1：推導(dǎo)出AC⊥CD，從而CD⊥平面ABC，由此能證明CD⊥CB．
證法2：推導(dǎo)出AC⊥CD，AC⊥CB，從而∠DCB為二面角D﹣AC﹣B的平面角，由此能證明CD⊥CB．（Ⅲ）以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣D的余弦值．（Ⅳ）法1：取AC中點(diǎn)F，連接EF，過點(diǎn)F作FP∥BC交AB于點(diǎn)P，得到P為AB中點(diǎn)．推導(dǎo)出EF∥CD，由此能證明EP∥平面BCD．法2：設(shè) ，則 ，求出平面BCD的一個(gè)法向量為 =（1，0，0），從而得到當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，AP∥平面BCD．（Ⅴ）設(shè)AC=2a，求出平面CBE的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能求出當(dāng)k=1時(shí)，平面ABE⊥平面CBE．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定，需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行；一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直才能得出正確答案．