Question

14．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$，n∈N^•
（I）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$，（n∈N^•），設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：當(dāng)n≥3時(shí)，S_n＞$\frac{{n}^{2}}{2}$+4．

Answer 1

分析 （I）由a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$及a₁=$\frac{1}{2}$可推出$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1）且$\frac{1}{{a}_{1}}$-1=1＞0，從而證明{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是以1為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，從而求得$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，再求a_n即可；
（Ⅱ）化簡b_n=n+n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，從而轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和與錯(cuò)位相減法求和，從而解得S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$+4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$+4+$\frac{n（{2}^{n-2}-1）-2}{{2}^{n-1}}$，從而證明．

解答 證明：（I）∵a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$，a₁=$\frac{1}{2}$；
∴a_n＞0恒成立，
且$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1+{a}_{n}}{2{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，
故$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$-1=1＞0，
故數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是以1為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
故$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=1•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
故$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
故a_n=$\frac{1}{1+\frac{1}{{2}^{n-1}}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{1+{2}^{n-1}}$；
（Ⅱ）易知b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=n（1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）=n+n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
易知1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
令T_n=1•1+2•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{4}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
2T_n=1•2+2•1+3•$\frac{1}{2}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
兩式作差可得，
T_n=2+1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=$\frac{2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，
故S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$+4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$
=$\frac{{n}^{2}}{2}$+4+$\frac{n}{2}$-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$
=$\frac{{n}^{2}}{2}$+4+$\frac{n（{2}^{n-2}-1）-2}{{2}^{n-1}}$
故當(dāng)n≥3時(shí)，n（2^n-2-1）＞2，
故$\frac{n（{2}^{n-2}-1）-2}{{2}^{n-1}}$＞0，
故S_n＞$\frac{{n}^{2}}{2}$+4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論與整體思想的應(yīng)用，同時(shí)考查了構(gòu)造法與錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，屬于中檔題．