Question

9．過(guò)橢圓$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的上頂點(diǎn)A作斜率分別為k₁，k₂（k₁，k₂＞0，k₁≠k₂）的兩條直線l₁，l₂，它們分別與橢圓交于另一點(diǎn)M，N．
（1）當(dāng)k₁，k₂滿足什么條件時(shí)，直線MN垂直于x軸；
（2）當(dāng)k₁k₂=1時(shí)，求直線MN的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由橢圓方程求出A的坐標(biāo)，分別寫出兩直線的斜截式方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出M，N橫的坐標(biāo)，由M，N的橫坐標(biāo)相等求得k₁，k₂滿足的關(guān)系；
（2）由（1）中求出的M，N的橫坐標(biāo)，代入直線方程求出M，N的縱坐標(biāo)，代入斜率公式，結(jié)合k₁k₂=1，利用基本不等式求得直線MN的斜率k的取值范圍．

解答 解：（1）由橢圓$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，得A（0，2），
則直線l₁的方程為y=k₁x+2，直線l₂的方程為y=k₂x+2，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x+2}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得$（4+5{{k}_{1}}^{2}）{x}^{2}+20{k}_{1}x=0$．
∵x_A=0，則${x}_{M}=-\frac{20{k}_{1}}{4+5{{k}_{1}}^{2}}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{2}x+2}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，同理可得${x}_{N}=-\frac{20{k}_{2}}{4+5{{k}_{2}}^{2}}$．
若直線MN垂直于x軸，則x_M=x_N，
即$-\frac{20{k}_{1}}{4+5{{k}_{1}}^{2}}=-\frac{20{k}_{2}}{4+5{{k}_{2}}^{2}}$，整理得：（k₁-k₂）（4-5k₁k₂）=0．
∵k₁≠k₂，
∴4-5k₁k₂=0，即${k}_{1}{k}_{2}=\frac{4}{5}$；
（2）由（1）知，${x}_{M}=-\frac{20{k}_{1}}{4+5{{k}_{1}}^{2}}$，則${y}_{M}=\frac{8-10{{k}_{1}}^{2}}{4+5{{k}_{1}}^{2}}$，
${x}_{N}=-\frac{20{k}_{2}}{4+5{{k}_{2}}^{2}}$，則${y}_{N}=\frac{8-10{{k}_{2}}^{2}}{4+5{{k}_{2}}^{2}}$．
∴k=$\frac{{y}_{M}-{y}_{N}}{{x}_{M}-{x}_{N}}=\frac{\frac{8-10{{k}_{1}}^{2}}{4+5{{k}_{1}}^{2}}-\frac{8-10{{k}_{2}}^{2}}{4+5{{k}_{2}}^{2}}}{-\frac{20{k}_{1}}{4+5{{k}_{1}}^{2}}+\frac{20{k}_{2}}{4+5{{k}_{2}}^{2}}}$=$\frac{4（{k}_{1}+{k}_{2}）}{4-5{k}_{1}{k}_{2}}$．
∵k₁k₂=1，
∴k=-4（k₁+k₂）=$-4（{k}_{1}+\frac{1}{{k}_{1}}）≤-4×2\sqrt{{k}_{1}•\frac{1}{{k}_{1}}}=-8$（k₁＞0）．
當(dāng)且僅當(dāng)${k}_{1}=\frac{1}{{k}_{1}}$，即k₁=1時(shí)取等號(hào)．
∴直線MN的斜率k的取值范圍是（-∞，-8]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題．