Question

7．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，其準線與雙曲線x²-$\frac{y^2}{4}$=1交于A、B兩點，若△ABF是等邊三角形，則該拋物線焦點F的坐標為（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0）．

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點坐標，準線方程，然后求出拋物線的準線與雙曲線的交點坐標，利用三角形是等邊三角形求出p即可得出結論．

解答 解：拋物線的焦點坐標為（$\frac{p}{2}$，0），準線方程為：x=-$\frac{p}{2}$，
準線方程與雙曲線聯立解得y=±$\sqrt{{p}^{2}-4}$，
因為△ABF為等邊三角形，所以$\sqrt{{p}^{2}+{y}^{2}}$=2|y|，即p²=3y²，
即p²=3×（p²-4），解得p=$\sqrt{6}$，
∴拋物線焦點F的坐標為（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0）．
故答案為（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0）．

點評 本題考查拋物線的簡單性質，雙曲線方程的應用，考查分析問題解決問題的能力以及計算能力．