Question

7．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線x²-$\frac{y^2}{4}$=1交于A、B兩點(diǎn)，若△ABF是等邊三角形，則該拋物線焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0）．

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，然后求出拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形是等邊三角形求出p即可得出結(jié)論．

解答 解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線方程為：x=-$\frac{p}{2}$，
準(zhǔn)線方程與雙曲線聯(lián)立解得y=±$\sqrt{{p}^{2}-4}$，
因?yàn)椤鰽BF為等邊三角形，所以$\sqrt{{p}^{2}+{y}^{2}}$=2|y|，即p²=3y²，
即p²=3×（p²-4），解得p=$\sqrt{6}$，
∴拋物線焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0）．
故答案為（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，雙曲線方程的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力以及計(jì)算能力．