Question

（2013•浙江模擬）已知函數(shù)f （x）=x³+

3

2

（1-a）x²-3ax+1，a＞0．
（Ⅰ） 證明：對(duì)于正數(shù)a，存在正數(shù)p，使得當(dāng)x∈[0，p]時(shí)，有-1≤f （x）≤1；
（Ⅱ）  設(shè)（Ⅰ）中的p的最大值為g（a），求g（a）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求得極值點(diǎn)，從而求出f（x）的值域；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知f （x）在[0，+∞）上的最小值為f （a），需要分類討論：0＜a≤1或a＞1，對(duì)于g（a）的表達(dá)式，對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)研究其最值問題；

解答：解：（Ⅰ） 由于 f′（x）=3x²+3（1-a）x-3a=3（x+1）（x-a），且a＞0，
故f （x）在[0，a]上單調(diào)遞減，在[a，+∞）上單調(diào)遞增．
又f （0）=1，f （a）=-

1

2

a³-

3

2

a²+1=

1

2

（1-a）（a+2）²-1．
當(dāng)f （a）≥-1時(shí)，取p=a．
此時(shí)，當(dāng)x∈[0，p]時(shí)有-1≤f （x）≤1成立．
當(dāng)f （a）＜-1時(shí)，由于f （0）+1=2＞0，f （a）+1＜0，
故存在p∈（0，a）使得f （p）+1=0．
此時(shí)，當(dāng)x∈[0，p]時(shí)有-1≤f （x）≤1成立．
綜上，對(duì)于正數(shù)a，存在正數(shù)p，使得當(dāng)x∈[0，p]時(shí)，有-1≤f （x）≤1．
…（7分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知f （x）在[0，+∞）上的最小值為f （a）．
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f （a）≥-1，則g（a）是方程f （p）=1滿足p＞a的實(shí)根，
即2p²+3（1-a）p-6a=0滿足p＞a的實(shí)根，所以
g（a）=

3(a-1)+ 9a2+30a+9

4

．
又g（a）在（0，1]上單調(diào)遞增，故
g（a）_max=g（1）=

3

．
當(dāng)a＞1時(shí)，f （a）＜-1．
由于f （0）=1，f （1）=

9

2

（1-a）-1＜-1，故
[0，p]?[0，1]．
此時(shí)，g（a）≤1．
綜上所述，g（a）的最大值為

3

．
…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力和創(chuàng)新意識(shí)，是一道中檔題，也是高考的熱點(diǎn)問題；