Question

已知函數(shù)f（x）=x²+alnx．
（1）當(dāng)a=-2e時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)g(x)=f(x)+

2

x

在[1，3]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=-2e時(shí)，我們易得到函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，列表討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)g(x)=f(x)+

2

x

在[1，3]上是減函數(shù)，則g'（x）≤0在[1，3]上恒成立，由此轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立問(wèn)題，并轉(zhuǎn)化為a的不等式，解不等式即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
當(dāng)a=-2e時(shí)，f′(x)=2x-

2e

x

=

2(x+ e )(x- e )

x

．（2分）
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下：

x	(0， e )	e	( e ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）		極小值

由上表可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，

e

)；
單調(diào)遞增區(qū)間是(

e

，+∞)．
極小值是f(

e

)=0．（6分）
（2）由g(x)=x2+alnx+

2

x

，得g′(x)=2x+

a

x

-

2

x2

．
又函數(shù)g(x)=x2+alnx+

2

x

為[1，3]上單調(diào)減函數(shù)，
則g'（x）≤0在[1，3]上恒成立，所以不等式2x-

2

x2

+

a

x

≤0在[1，3]上恒成立．
即a≤

2

x

-2x2在[1，3]上恒成立．（10分）
又?(x)=

2

x

-2x2在[1，3]為減函數(shù)，
所以?(x)的最小值為?(3)=-

52

3

．
所以a≤-

52

3

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，其中根據(jù)原函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．