已知A（-3，0），B（3，0）．若△ABC周長為16．
（1）求點C軌跡L的方程；
（2）過O作直線OM、ON，分別交軌跡L于M、N點，且OM⊥ON，求S△MON的最小值；
（3）在（2）的前提下過O作OP⊥MN交于P點．求證點P在定圓上，并求該圓的方程．
分析：（1）利用A，B是定點，△ABC周長為16，可知點C軌跡為以A，B為焦點的橢圓（除去與x軸的兩個交點），故可求軌跡方程；
（2）顯然OM，ON斜率均存在．分別求出OM，ON的長，進而可表示面積，利用基本不等式可求S△MON的最小值
（3）要證點P一定在定圓上，可證，OP為定長，從而得解．
解答：解：（1）由已知：|AC|+|BC|+|AB|=16
∴|AC|+|BC|=10
∴a=5，c=3
∴b2=a2-c2=16
∴點C的軌跡為：
x2
25
+
y2
16
=1  (y≠0)
（2）顯然OM，ON斜率均存在．設OM：y=kx，則ON：y=-
1
k
x
聯(lián)立OM與L可知：
x2
25
+
k2x2
16
=1⇒x2=
1
1
25
+
k2
16

∴|OM|=
1+k2
•|x|=
1+k2
1
25
+
k2
16
同理|ON|=
1+
1
k2
1
25
+
1
16k2
=
1+k2
1
25
k2+
1
16

∴S△MON=
1
2
|OM|•|ON|=
1
2
(1+k2)2
(
1
25
+
k2
16
)(
k2
25
+
1
16
)
≥
1
2
•
1+k2
1
25
+
k2
16
+
k2
25
+
1
16
2
=
400
41

當且僅當：
1
25
+
k2
16
=
k2
25
+
1
16
時取“=”即k=±1時取“=”
∴S△MON的最小值為
400
41

（3）由已知：|MN|=
|OM|2+|ON|2
=
1+k2
1
25
+
k2
16
+
1+k2
k2
25
+
1
16

∴|OP|=
|OM|•|ON|
|MN|
=
1+k2
1
25
+
k2
16
•
1+k2
1
25
k2+
1
16
1+k2
1
25
+
k2
16
+
1+k2
k2
25
+
1
16
=
400
41
=
20
41
41

∴點P一定在定圓x2+y2=
400
41
上．
點評：本題以三角形為載體，考查橢圓的方程，考查軌跡問題，考查利用基本不等式解決三角形的面積最小值，有一定的綜合性．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A（
3
，0），B（0，1），坐標原點O在直線AB上的射影為點C，則
OA
•
OC
=
3
4
3
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A（3，0）、B（0，4）、C（5，5），動點P（x，y）在△ABC內(nèi)部包括邊界上運動，則x2+y2的取值范圍為
[
144
25
，50]
[
144
25
，50]
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A（3，0）及雙曲線E：
x2
9
-
y2
16
=1，若雙曲線E的右支上的點Q到點B（m，0）（m≥3）距離的最小值為|AB|．
（1）求m的取值范圍，并指出當m變化時B的軌跡C
（2）如（圖1），軌跡C上是否存在一點D，它在直線y=
4
3
x上的射影為P，使得
AP
•
OD
=
OP
•
PD
？若存在試指出雙曲線E的右焦點F分向量
AD
所成的比；若不存在，請說明理由．
（3）（理）當m為定值時，過軌跡C上的點B（m，0）作一條直線l與雙曲線E的右支交于不同的兩點（圖2），且與直線y=
4
3
x，y=-
4
3
x分別交于M、N兩點，求△MON周長的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A（3，0），B（0，4），則過B且與A的距離為3的直線方程為
 
．

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