Question

13．如圖，點(diǎn)C是半徑為2的圓的劣弧$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，連接AC并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使得CD=AC，連接DB并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)E，若AC=2，則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AE}$的值為4．

Answer 1

分析 可連接CE，根據(jù)條件便可說(shuō)明AE為圓的直徑，從而得到△ADE為等邊三角形，這便得到∠EAC=60°，AE=4，從而進(jìn)行數(shù)量積的計(jì)算便可得出$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AE}$的值．

解答 解：如圖，連接CE，∵$\widehat{AC}=\widehat{BC}$；
∴∠AEC=∠DEC；
∴CE為∠AED的角平分線；
又C是AD中點(diǎn)，即CE為△ADE底邊AD的中線；
∴AE=DE；
∴CE⊥AD；
∴∠ACE=90°；
∴AE為圓的直徑；
∴AE=4，DE=4；
又AD=4；
∴∠EAC=60°；
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AE}=|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AE}|cos60°=2•4•\frac{1}{2}=4$．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 考查等弧所對(duì)的圓周角相等，三角形的中線和角平分線重合時(shí)，這個(gè)三角形為等腰三角形，圓的直徑所對(duì)的圓周角為直角，以及向量數(shù)量積的計(jì)算公式．