Question

11．已知點P（x，y）是橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1上的動點．
（1）若x+y+a≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求到直線x-2y-12=0的距離最小的點的坐標．

Answer 1

分析 （1）設x=4cosα，y=2$\sqrt{3}$sinα，可得x+y=4cosα+2$\sqrt{3}$sinα=2$\sqrt{7}$sin（α+θ），x+y+a≥0恒成立，可得-a≤x+y恒成立，即可求出a的取值范圍；
（2）P到直線x-2y-12=0的距離d=$\frac{|4cosα-4\sqrt{3}sinα-12|}{\sqrt{5}}$=$\frac{8cos（α+\frac{π}{3}）-12|}{\sqrt{5}}$，即可求到直線x-2y-12=0的距離最小的點的坐標．

解答 解：（1）設x=4cosα，y=2$\sqrt{3}$sinα，∴x+y=4cosα+2$\sqrt{3}$sinα=2$\sqrt{7}$sin（α+θ）
∵x+y+a≥0恒成立，∴-a≤x+y恒成立，
∴-a≤-2$\sqrt{7}$，
∴a≥2$\sqrt{7}$；
（2）P到直線x-2y-12=0的距離d=$\frac{|4cosα-4\sqrt{3}sinα-12|}{\sqrt{5}}$=$\frac{8cos（α+\frac{π}{3}）-12|}{\sqrt{5}}$，
∴α=-$\frac{π}{3}$，即x=4cosα=2，y=-3時，P到直線x-2y-12=0的距離最小，最小為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，P（2，-3）．

點評 本題考查橢圓的參數(shù)方程的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．