Question

2．已知f（x）=2+log₂x，x∈[1，4]，求y=f²（x）+f（x²）的值域．

Answer 1

分析 先確定函數(shù)y=f²（x）+f（x²）的定義域，再運用換元和配方及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求該函數(shù)的值域．

解答 解：∵f（x）的定義域為[1，4]，
∴函數(shù)y=f²（x）+f（x²）的自變量需x滿足：
$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤4}\\{1≤x^2≤4}\end{array}\right.$，解得x∈[1，2]，
記t=log₂x∈[0，1]，因此，
y=g（t）=f²（x）+f（x²）=（2+t）²+2+2t
=t²+6t+6=（t+3）²-3，
當(dāng)t∈[0，1]時，函數(shù)g（t）單調(diào)遞增，所以，
y_max=g（1）=13，此時x=2，
y_min=g（0）=6，此時，x=1，
因此函數(shù)的值域為[6，13]．

點評 本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的定義域及值域的求法，涉及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．