Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，以D為原點，

DA

，

DC

，

DD1

所在直線為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系D-xyz，且MN是AB₁與BC₁的公垂線，M在AB₁上，N在BC₁上，則

MN

等于（　　）

• A．(1，

  2

  3

  ，

  2

  3

  )
• B．(

  2

  3

  ，1，

  1

  3

  )
• C．(-

  1

  3

  ，

  1

  3

  ，-

  1

  3

  )
• D．(

  1

  3

  ，-

  1

  3

  ，

  1

  3

  )

Answer 1

分析：如圖所示．A（1，0，0），B（1，1，0），B₁（1，1，1），C₁（0，1，1）．可得

AB1

，

BC1

．由于點M在AB₁上，N在BC₁上．可設(shè)

AM

=λ

AB1

，

BN

=μ

BC1

．于是點M，N的坐標(biāo)可用λ，μ表示．由公垂線可得

MN

⊥

AB1

，

MN

⊥

BC1

．再利用數(shù)量積與垂直的關(guān)系即可得出．

解答：解：如圖所示．A（1，0，0），B（1，1，0），B₁（1，1，1），C₁（0，1，1）．
∴

AB1

=（0，1，1），

BC1

=（-1，0，1）．
∵點M在AB₁上，N在BC₁上．
∴可設(shè)

AM

=λ

AB1

，

BN

=μ

BC1

．
∴

OM

=

OA

+λ(0，1，1)=（1，λ，λ）．

ON

=

OB

+μ(-1，0，1)=（1-μ，1，μ）．
∴

MN

=（-μ，1-λ，μ-λ）．
∵

MN

⊥

AB1

，

MN

⊥

BC1

．
∴

1-λ+μ-λ=0 μ+μ-λ=0

，解得λ=

2

3

，μ=

1

3

．
∴

MN

=(-

1

3

，

1

3

，-

1

3

)．
故選C．

點評：熟練掌握向量共線定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．