Question

18．如圖，⊙O是以O(shè)為圓心、1為半徑的圓，設(shè)點(diǎn)A，B，C為⊙O上的任意三點(diǎn)，則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范圍為[-4，4]．

Answer 1

分析 不妨設(shè)圓的方程為x²+y²=1，C（1，0），A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及二倍角的余弦公式和和差化積公式，結(jié)合正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的值域，即可得到所求范圍．

解答 解：不妨設(shè)圓的方程為x²+y²=1，
C（1，0），A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），
則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=（1-cosα，-sinα）•（1-cosβ，-sinβ）
=1-cosα-csβ+cosαcosβ+sinαsinβ
=1+cos（α-β）-2cos$\frac{α+β}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$
=2cos²$\frac{α-β}{2}$-2cos$\frac{α+β}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$
=2cos$\frac{α-β}{2}$（cos$\frac{α-β}{2}$-cos$\frac{α+β}{2}$）
=4cos$\frac{α-β}{2}$sin$\frac{α}{2}$sin$\frac{β}{2}$，
當(dāng)α=4kπ+π，β=4lπ+π，α-β=4mπ，k，l，m∈Z時，取得最大值4；
當(dāng)α=4kπ-π，β=4lπ-π，α-β=4mπ+2π，k，l，m∈Z時，取得最小值-4．
綜上可得，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范圍是[-4，4]．
故答案為：[-4，4]．

點(diǎn)評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查圓的參數(shù)方程的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡和求值，注意運(yùn)用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．