Question

3．已知偶函數(shù)f（x）的定義域為（-1，0）∪（0，1），且$f（\frac{1}{e}）=0$．當(dāng)0＜x＜1時，（1-x²）ln（1-x²）f'（x）＞2xf（x），則滿足f（x）＜0的x的取值范圍是（　�。�

• A． $（-\frac{1}{e}，0）∪（0，\frac{1}{e}）$
• B． $（-\frac{1}{2}，0）∪（\frac{1}{2}，1）$
• C． $（-1，-\frac{1}{e}）∪（\frac{1}{e}，1）$
• D． $（-1，-\frac{1}{2}）∪（0，\frac{1}{2}）$

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{ln（1-{x}^{2}）}$，根據(jù)已知可判斷g（x）=$\frac{f（x）}{ln（1-{x}^{2}）}$在（0，1）上為增函數(shù)，進而可得f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且$f（\frac{1}{e}）=0$可得答案．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{ln（1-{x}^{2}）}$，則g′（x）=$\frac{f′（x）ln（1-{x}^{2}）-f（x）•\frac{2x}{1-{x}^{2}}}{l{n}^{2}（1-{x}^{2}）}$，
∵當(dāng)0＜x＜1時，（1-x²）ln（1-x²）f'（x）＞2xf（x），
∴$f′（x）ln（1-{x}^{2}）-f（x）•\frac{2x}{1-{x}^{2}}$＞0，
即g（x）=$\frac{f（x）}{ln（1-{x}^{2}）}$在（0，1）上為增函數(shù)，
則f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，
又由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且$f（\frac{1}{e}）=0$．
故當(dāng)x∈$（-1，-\frac{1}{e}）∪（\frac{1}{e}，1）$時，f（x）＜0，
故選：C

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造法解決函數(shù)綜合性問題，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．