Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=2a_n+1，求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求出通項公式．

Answer 1

證明：∵S_n=2a_n+1，∴S_n+1=2a_n+1+1．
∴S_n+1-S_n=（2a_n+1+1）-（2a_n+1）=2a_n+1-2a_n.
∴a_n+1=2a_n．                 ①
又∵S₁=a₁=2a₁+1，∴a₁=-1≠0．
由①知，a_n≠0，
∴由=2知，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，a_n=-2^n-1．

要證數(shù)列是等比數(shù)列，關(guān)鍵是看a_n與a_n-1之比是否為一常數(shù)，由題設(shè)還需利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求得a_n．
（1）本題證明，關(guān)鍵是用等比數(shù)列的定義，其中說明a_n≠0是非常重要的．證明中，也可以寫出S_n-1=2a_n-1+1，從而得到a_n=2a_n-1，只能得到n≥2時，{a_n}是等比數(shù)列，得到n≥2時，a_n=-2^n-1，再將n=1時，a₁=-1代入驗證．
（2）證明一個數(shù)列是等比數(shù)列，常用方法是：①要證明一個數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，只要證明對于任意自然數(shù)n，都等于同一個常數(shù)即可．②對于一個數(shù)列，除了首項和末項（有窮數(shù)列）外，任何一項都是它的前后兩項的等比中項，則此數(shù)列是等比數(shù)列．