Question

16．如圖，在四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，E為SA的中點(diǎn)，SB=2，BC=3，$SC=\sqrt{13}$．
（Ⅰ）求證：SC∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：平面ABCD⊥平面SAB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC交BD于F，則F為AC中點(diǎn)，連接EF，可得EF∥SC，即SC∥平面BDE．
（Ⅱ）由SB²+BC²=SC²，得BC⊥SB，又四邊形ABCD為矩形，即BC⊥平面SAB，可證平面ABCD⊥平面SAB．

解答 證明：（Ⅰ）連接AC交BD于F，則F為AC中點(diǎn)，連接EF，
∵E為SA的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，∴EF∥SC，
又EF?面BDE，SC?面BDE，∴SC∥平面BDE．
（Ⅱ）∵SB=2，BC=3，$SC=\sqrt{13}$，
∴SB²+BC²=SC²，∴BC⊥SB，
又四邊形ABCD為矩形，
∴BC⊥AB，又AB、SB在平面SAB內(nèi)且相交，
∴BC⊥平面SAB，
又BC?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面SAB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與直線的位置關(guān)系中的垂直問(wèn)題以及面面關(guān)系中 的垂直問(wèn)題，注意問(wèn)題的轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．