Question

2．如圖橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且右焦點F到左頂點A的距離為4+2$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設(shè)P為橢圓C上位于x軸上方的點，直線PA交y軸于點M，過點F作MF的垂線，交y軸于點N．
（i）當直線PA的斜率為$\frac{1}{2}$時，求△FMN的外接圓的方程；
（ii）設(shè)直線AN交橢圓C于另一點Q，求△APQ的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率可知：a=$\sqrt{2}$c，且a+c=4+2$\sqrt{2}$，即可求得a和b的值，b²=a²-c²=8，即可求得橢圓方程；
（2）（i）由直線FN的方程為y=$\frac{2\sqrt{2}}{4k}$（x-2$\sqrt{2}$），則N（0，-$\frac{2}{k}$），k=$\frac{1}{2}$時，求得MF⊥FN，則圓心為（0，-1），半徑為3，即可求得△FMN的外接圓的方程；
（ii）設(shè)直線PA的方程為y=k（x+4），代入橢圓方程，求得P點坐標，同理即可求得Q點坐標，根據(jù)三角形的面積公式，利用基本不等式的性質(zhì)，即可求得△APQ的面積的最大值．

解答 解：（1）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$c，①
右焦點F到左頂點A的距離為4+2$\sqrt{2}$，即a+c=4+2$\sqrt{2}$，②
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{c=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，b²=a²-c²=8，
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$；
（2）由題可設(shè)直線PA的方程為y=k（x+4），k＞0，則M（0，4k），
∴直線FN的方程為y=$\frac{2\sqrt{2}}{4k}$（x-2$\sqrt{2}$），則N（0，-$\frac{2}{k}$），
（i）當直線PA的斜率為$\frac{1}{2}$，即k=$\frac{1}{2}$時，M（0，2），N（0，-4），F(xiàn)（2$\sqrt{2}$，0），
則$\overrightarrow{MF}$=（2$\sqrt{2}$，-2），$\overrightarrow{FN}$=（-2$\sqrt{2}$，-4），
由$\overrightarrow{MF}$•$\overrightarrow{FN}$=-8+8=0，
∴MF⊥FN，則圓心為（0，-1），半徑為3，
△FMN的外接圓的方程x²+（y+1）²=9；
（ii）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+4）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得，（1+2k²）x²+16k²x+32k²-16=0，
解得x₁=-4或x₂=$\frac{4-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，則P（$\frac{4-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$），
直線AN的方程為y=$\frac{1}{2k}$（x+4），同理可得，Q（$\frac{8{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，-$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$），
∴P，Q關(guān)于原點對稱，即PQ過原點．
∴△APQ的面積S=$\frac{1}{2}$•丨OA丨（y_P-y_Q）=2×$\frac{16k}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{32}{2k+\frac{1}{k}}$≤$\frac{32}{2\sqrt{2k×\frac{1}{k}}}$=8$\sqrt{2}$，
當且僅當2k=$\frac{1}{k}$，即k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，取“=”．
∴△APQ的面積的最大值為8$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，向量數(shù)量積的坐標運算，三角形的面積公式，基本不等式的性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題．