Question

已知數(shù)列{a_n}滿足S_n=

1

2

（a_n+1），
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，并進(jìn)行證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,歸納推理

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）取n=1，2，3，分別求出a₁，a₂，a₃，a₄，然后仔細(xì)觀察，總結(jié)規(guī)律，猜測(cè)a_n的值．
（2）由（1）猜想：a_n=（-1）^n-1，證明{a_n}是以1為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列即可．

解答： 解：（1）∵S_n=

1

2

（a_n+1），
令n=1，則a₁=S₁=

1

2

（a₁+1），解得a₁=1----1
令n=2，則S₂=

1

2

（a₂+1），解得a₂=-1-------1
同理a₃=1，-----1
a₄=-1-------1
（2）由（1）猜想：a_n=（-1）^n-1，下證明之．---------1
∵S_n=

1

2

（a_n+1），①
n≥2，S_n-1=

1

2

（a_n-1+1），②----------1
①-②得a_n=-a_n-1，n≥2，
又a₁=1-----------1
∴{a_n}是以1為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=（-1）^n-1．---------1

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，屬于中檔題．