Question

已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點x=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若k∈Z，不等式k（x-1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值；
（3）當n＞m≥4時，證明：（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出f（x）的導函數(shù)，把x=e代入導函數(shù)中求出的導函數(shù)值即為切線方程的斜率，根據(jù)切線斜率為3列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）將原來的恒成立問題轉化為研究函數(shù)的最值問題，研究g（x）=

x+xlnx

x-1

區(qū)間（1，+∞）上的最值問題，先求出函數(shù)的極值，研究極值點左右的單調(diào)性，最后確定出最小值，從而得出k的最大值．
（3）由（2）知，g（x）=

x+xlnx

x-1

是[4，+∞）上的增函數(shù)，從而有當n＞m≥4時，

n+nlnn

n-1

＞

m+mlnm

m-1

，由此式即可化簡得到ln（n^mnm^m）＞ln（m^mnnⁿ）

解答： 解：（1）因為f（x）=ax+xlnx，
所以f'（x）=a+lnx+1．（1分）
因為函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點x=e處的切線斜率為3，
所以f'（e）=3，即a+lne+1=3．
所以a=1．（2分）
（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx，
所以不等式k（x-1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，
即k＜

x+xlnx

x-1

對任意x＞1恒成立．（3分）
令g（x）=

x+xlnx

x-1

，
則g′（x）=

x-lnx-2

(x-1)2

，（4分）
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），
則h′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

＞0在（1，+∞）上恒成立，
所以函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．（5分）
因為h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實根x₀，且滿足x₀∈（3，4）．
當1＜x＜x₀時，h（x）＜0，即g'（x）＜0，當x＞x₀時，h（x）＞0，即g'（x）＞0，（6分）
所以函數(shù)g（x）=

x+xlnx

x-1

在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．
所以[g（x）]min=g（x₀）=

x0+x0lnx0

x0-1

=

x0(1+x0-2)

x0-1

=x₀∈（3，4）．（7分）
所以k＜[g（x）]_min=x₀∈（3，4）．
故整數(shù)k的最大值是3．（8分）
（3）證明：由（2）知，g（x）=

x+xlnx

x-1

是[4，+∞）上的增函數(shù)，（9分）
所以當n＞m≥4時，

n+nlnn

n-1

＞

m+mlnm

m-1

，（10分）
即n（m-1）（1+lnn）＞m（n-1）（1+lnm）．
整理，得mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn+（n-m）．（11分）
因為n＞m，所以mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn．（12分）
即lnn^mn+lnm^m＞lnm^mn+lnnⁿ．
即ln（n^mnm^m）＞ln（m^mnnⁿ）．（13分）
所以（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．（14分）

點評：此題考查學生會利用導數(shù)求切線上過某點切線方程的斜率，會利用導函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，掌握導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用，是一道中檔題．