Question

過拋物線C：y²=2px（p＞0）上一點M(

p

2

，p)作傾斜角互補的兩條直線，分別與拋物線交于A、B兩點．
（1）求證：直線AB的斜率為定值；
（2）已知A、B兩點均在拋物線C：y²=2px（y≤0）上，若△MAB的面積的最大值為6，求拋物線的方程．

Answer 1

分析：（1）不妨設(shè)A(

y 2 1

2p

，y1)   B(

y 2 2

2p

，y2)，由K_AM=-k_BM可得y₁+y₂=-2p．利用斜率公式可求
（2）AB的方程為：y-y1=-(x-

y 2 1

2p

)，即x+y-y1-

y 2 1

2p

=0，由點M到AB的距離d=

|3p2-2py1- y 2 1 |

2 2 p

及AB=

2

|x1-x2|=

2

|

y 2 2

2p

-

y 2 1

2p

|=

2

2p

|y1+y2||y1-y2|= 2

2

|p+y1|，令p+y₁=t，可表示S△MAB=

1

2

•2

2

|p+y1 |•

|3p2-2py1- y 2 1 |

2 2 p

=

1

2p

|p+y1|，設(shè)f（t）=|4p²t-t³|，由偶函數(shù)的性質(zhì)，只需考慮t∈[0，p]，利用導數(shù)的知識可得，f（t）在[0，p]單調(diào)遞增可求三角形的面積的最大值，進而可求p及拋物線的方程

解答：證明：不妨設(shè)A(

y 2 1

2p

，y1)   B(

y 2 2

2p

，y2)
由K_AM=-k_BM可得y₁+y₂=-2p
∴KAB=

y1-y2

y 2 1 2p - y 3 2 2p

=-1
（2）AB的方程為：y-y1=-(x-

y 2 1

2p

)，即x+y-y1-

y 2 1

2p

=0
點M到AB的距離d=

|3p2-2py1- y 2 1 |

2 2 p

AB=

2

|x1-x2|=

2

|

y 2 2

2p

-

y 2 1

2p

|=

2

2p

|y1+y2||y1-y2|= 2

2

|p+y1|
又由y₁+y₂=-2p，y₁y₂＜0y₁∈[-2p，0]
令p+y₁=t∴t∈[-p，p]
S△MAB=

1

2

•2

2

|p+y1 |•

|3p2-2py1- y 2 1 |

2 2 p

=

1

2p

|4p2t-t3|
設(shè)f（t）=|4p²t-t³|為偶函數(shù)，故只需考慮t∈[0，p]
f（t）=4p²t-t³，f′（t）=4p²-3t²＞0，f（t）在[0，p]單調(diào)遞增
當t=p時，f（t）的最小值為：3p³
S△MAB=

1

2p

•3p3=

3p2

2

=6
∴p=2，拋物線方程為：y²=4x

點評：本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，要求考試具備一定的計算與推理的能力，試題具有一定的綜合性．