Question

8．已知函數(shù)$f（x）=sinx+\sqrt{3}cosx$，若方程f（x）=m在閉區(qū)間[0，2π]上恰有三個(gè)解x₁、x₂、x₃，則f（x₁+x₂+x₃）=（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． $\sqrt{3}$
• D． $-\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先利用兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡，畫出函數(shù)y=2sin（x+$\frac{π}{3}$）的圖象，方程的解即為直線與三角函數(shù)圖象的交點(diǎn)，在[0，2π]上，當(dāng)m=$\sqrt{3}$時(shí)，直線與三角函數(shù)圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而求得此時(shí)x₁，x₂，x₃最后相加，進(jìn)一步求出f（x₁+x₂+x₃）即可．

解答 解：sinx+$\sqrt{3}$cosx=2（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）=m，
如圖方程的解即為直線與三角函數(shù)圖象的交點(diǎn)，在[0，2π]上，當(dāng)m=$\sqrt{3}$時(shí)，直線與三角函數(shù)圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，
令sin（x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{3}$，即x=2kπ，或x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{2π}{3}$，即x=2kπ+$\frac{π}{3}$，
∴此時(shí)x₁=0，x₂=$\frac{π}{3}$，x₃=2π，
∴x₁+x₂+x₃=0+$\frac{π}{3}$+2π=$\frac{7π}{3}$．
則f（x₁+x₂+x₃）=2$sin（\frac{7π}{3}+\frac{π}{3}）$=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想，較為直觀的解決問題，是中檔題．