Question

20．已知函數(shù)$f（x）=2x+\frac{1}{x^2}$，直線l：y=kx-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）求證：對于任意k∈R，直線l都不是曲線y=f（x）的切線；
（Ⅲ）試確定曲線y=f（x）與直線l的交點(diǎn)個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）定義域，求導(dǎo)，令f′（x）=0，解得x=1．利用導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，
（Ⅱ）假設(shè)存在某個k∈R，使得直線l與曲線y=f（x）相切，設(shè)切點(diǎn)為$A（{x_0}，2{x_0}+\frac{1}{{{x_0}^2}}\;）$，求出切線滿足斜率，推出$\frac{3}{{{x_0}^2}}\;=-1$，此方程顯然無解，假設(shè)不成立．推出直線l都不是曲線y=f（x）的切線．
（Ⅲ）“曲線y=f（x）與直線l的交點(diǎn)個數(shù)”等價于“方程$2x+\frac{1}{x^2}=kx-1$的根的個數(shù)”．令$t=\frac{1}{x}$，則k=t³+t+2，其中t∈R，且t≠0．函數(shù)h（t）=t³+t+2，其中t∈R，求出導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后推出曲線y=f（x）與直線l交點(diǎn)個數(shù)．

解答 （本小題滿分13分）
（Ⅰ）解：函數(shù)f（x）定義域為{x|x≠0}，…（1分）
求導(dǎo)，得$f'（x）\;=2-\frac{2}{x^3}$，…（2分）
令f′（x）=0，解得x=1．
當(dāng)x變化時，f′（x）與f（x）的變化情況如下表所示：

x	（-∞，0）	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	-	0	+
f（x）	↗	↘		↗

所以函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0），（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1），…（3分）
所以函數(shù)y=f（x）有極小值f（1）=3，無極大值．              …（4分）
（Ⅱ）證明：假設(shè)存在某個k∈R，使得直線l與曲線y=f（x）相切，…（5分）
設(shè)切點(diǎn)為$A（{x_0}，2{x_0}+\frac{1}{{{x_0}^2}}\;）$，又因為$f'（x）\;=2-\frac{2}{x^3}$，
所以切線滿足斜率$k=2-\frac{2}{{{x_0}^3}}$，且過點(diǎn)A，
所以$2{x_0}+\frac{1}{{{x_0}^2}}\;=（2-\frac{2}{{{x_0}^3}}）{x_0}-1$，…（7分）
即$\frac{3}{{{x_0}^2}}\;=-1$，此方程顯然無解，
所以假設(shè)不成立．
所以對于任意k∈R，直線l都不是曲線y=f（x）的切線．…（8分）
（Ⅲ）解：“曲線y=f（x）與直線l的交點(diǎn)個數(shù)”等價于“方程$2x+\frac{1}{x^2}=kx-1$的根的個數(shù)”．
由方程$2x+\frac{1}{x^2}=kx-1$，得$k=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x}+2$．…（9分）
令$t=\frac{1}{x}$，則k=t³+t+2，其中t∈R，且t≠0．
考察函數(shù)h（t）=t³+t+2，其中t∈R，
因為h′（t）=3t²+1＞0時，
所以函數(shù)h（t）在R單調(diào)遞增，且h（t）∈R．…（11分）
而方程k=t³+t+2中，t∈R，且t≠0．
所以當(dāng)k=h（0）=2時，方程k=t³+t+2無根；當(dāng)k≠2時，方程k=t³+t+2有且僅有一根，
故當(dāng)k=2時，曲線y=f（x）與直線l沒有交點(diǎn)，
而當(dāng)k≠2時，曲線y=f（x）與直線l有且僅有一個交點(diǎn)．…（13分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．