Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d（b≠0）在x=0處的切線方程為2x-y-1=0；
（1）求實數(shù)c，d的值；
（2）若對任意x∈[1，2]，均存在t∈（0，1]，使得et-lnt-4≤f（x）-2x，試求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d（b≠0），
∴f′（x）=3x²+2bx+c，
∵f（x）在x=0處的切線方程為2x-y-1=0，
∴f′（0）=c=2，切點坐標為（0，-1），
∴f（0）=d=-1．
故c=2，d=-1．
（2）∵f（x）=x³+bx²+cx+d（b≠0），
對任意x∈[1，2]，均存在t∈（0，1]，使得et-lnt-4≤f（x）-2x，
∴對任意x∈[1，2]，均存在t∈（0，1]，使得et-lnt-4≤x³+bx²-1，
∴對任意x∈[1，2]，均存在t∈（0，1]，使得et-lnt≤x³+bx²+3，
令h（t）=et-lnt，t∈（0，1]，
h′（t）=e-=，t=，
∵0＜t＜時，h′（t）＜0；時，h′（t）＞0．
∴h（t）的減區(qū)間是（0，），增區(qū)間是（，1）．
∴h（t）_min=h（）=e-ln=2．
∴原題轉化為?x∈[1，2]，x³+bx+3≥2恒成立．
∵b≥=-x-．
令g（x）=-x-，
g′（x）=-1+2x^-3=0，得x=，
當1＜x＜時，g′（x）＞0；當＜x＜2時，g′（x）＜0；
∴g（x）的減區(qū)間是（，2），增區(qū)間是（1，）．
∴g（x）_max=g（）=--=，
∴b≥，且b≠0．
故實數(shù)b的取值范圍是[，0）∪（0，+∞）．
分析：（1）由f′（x）=3x²+2bx+c，f（x）在x=0處的切線方程為2x-y-1=0，知f′（0）=c=2，切點坐標為（0，-1），由此能求出c和d．
（2）由f（x）=x³+bx²+cx+d（b≠0），把對任意x∈[1，2]，均存在t∈（0，1]，使得et-lnt-4≤f（x）-2x等價轉化為對任意x∈[1，2]，均存在t∈（0，1]，使得et-lnt≤x³+bx²+3．令h（t）=et-lnt，t∈（0，1]，利用導數(shù)求出h（t）_min=2．故原題轉化為?x∈[1，2]，x³+bx+3≥2恒成立．由此能求出實數(shù)b的取值范圍．
點評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法．解題時要認真審題，注意等價轉化思想、分類討論思想、導數(shù)性質的合理運用．