Question

已知f（x）=3sin（2x-

π

6

），若存在α∈（0，π），使f（α+x）=f（α-x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則α=

 

．

Answer 1

分析：依題意，f（x）=3sin（2x-

π

6

），且f（α+x）=f（α-x）⇒y=f（x）關(guān)于x=α對(duì)稱(chēng)，利用正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及α∈（0，π）即可求得α的值．

解答：解：∵f（x）=3sin（2x-

π

6

），且f（α+x）=f（α-x），
∴y=f（x）關(guān)于直線x=α對(duì)稱(chēng)，
由正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性得：2α-

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z），
∴α=

kπ

2

+

π

3

（k∈Z），
又α∈（0，π），
∴k=0時(shí)，α=

π

3

；
k=1時(shí)，α=

π

2

+

π

3

=

5π

6

．
故答案為：

π

3

，

5π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，f（α+x）=f（α-x）⇒y=f（x）關(guān)于x=α對(duì)稱(chēng)是關(guān)鍵，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．