Question

【題目】已知函數；

(Ⅰ)若m=1，求證： 在(0，+∞)上單調遞增；

(Ⅱ)若，試討論g(x)零點的個數.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) 當m<1時，g(x)沒有零點；m=1時，g(x)有一個零點；m>1時，g(x)有兩個零點

【解析】試題分析：(Ⅰ) m=1時， ，要證在上單調遞增，只要證： 對x>0恒成立，令，通過求導可證得，令，通過求導可證得，所以即得證；

(Ⅱ) 由有，顯然是增函數，令，得即∴g(x)在(0，x0]上是減函數，在[x0，+∞)上是増函數，∴g(x)有極小值，g(x0) =，分情況討論

①當m=1時②m<1時③當m>1時三種情況通過求導研究單調性，最值即可得解.

試題解析：

(Ⅰ)m=1時， ，

要證在上單調遞增，只要證： 對x>0恒成立，

令，則，當時， ，

當x<1時, ,故在上單調遞減，在上單調遞增

所以,即 (當且僅當x=1時等號成立)，

令，則，

當0<x<1時， ,當時， ,故j(x)在(0，1)上單調遞減，在上單調遞增，

所以,即 (當且僅當x =1時取等號)，

(當且僅當x =1時等號成立)

在上單調遞增.

(Ⅱ)由有，顯然是增函數，

令，得，

則時， 時， ，

∴g(x)在(0，x0]上是減函數，在[x0，+∞)上是増函數，

∴g(x)有極小值，g(x0) =

①當m=1時， ，g(x)極小值=g(1) =0，g(x)有一個零點1；

②m<1時，0<x0<1， ，g(x)沒有零點；

③當m>1時，x0>1，g(x0)<1-0-1=0,又

又對于函數時,

∴當x>0時，y>1-0-1 = 0，即，

∴g(3m) = ，

令，則，

∵m>1, ∴，∴t(m)>t(1)==2-ln3>0，∴g(3m)>0，

又∴有兩個零點，

綜上，當m<1時，g(x)沒有零點；m=1時，g(x)有一個零點；m>1時，g(x)有兩個零點.