Question

在平面直角坐標系x0y中，已知以O(shè)為圓心的圓與直線l：y=mx+（3-4m）（m∈R）恒有公共點，且要求使圓O的面積最�。�
（1）證明直線過定點M，求出此點的坐標及圓O的方程；
（2）已知定點Q（-4，3），直線l與圓O交于M、N兩點，試判斷×tan∠MQN是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此時直線l的方程，若不存在，給出理由．
（3）圓O與x軸相交于A、B兩點，圓內(nèi)動點P使||、||、||成等比數(shù)列，求的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意可知直線過定點，要求使圓O的面積最小，則定點在圓上，求出半徑即可求圓的方程；
（2）利用×tan∠MQN，可得到等價關(guān)系即三角形面積，容易確定圓上的點到已知線段的最大距離，可求出直線l的方程；
（3）求出A、B兩點的坐標，設(shè)P的坐標，利用||、||、||成等比數(shù)列，得到相等關(guān)系式，P在圓內(nèi)，得到不等式，從而可求數(shù)量積的范圍．
解答：解：（1）因為直線l：y=mx+（3-4m）過定點T（4，3）
由題意，要使圓O的面積最小，定點T（4，3）在圓上，所以圓O的方程為x²+y²=25；
（2）存在直線方程2x-y-5=0，符合題意，理由如下
×tan∠MQN=×sin∠MQN=2S_△MQN
由題意，得直線l與圓O的一個交點為M（4，3），又知定點Q（-4，3），
∴直線l_MQ：y=3，|MQ|=8，∴當N（0，-5）時，S_△MQN有最大值32．
即×tan∠MQN有最大值為64，此時直線l的方程為2x-y-5=0．
（3）A（-5，0），B（5，0），設(shè)P（x，y），則x²+y²＜25   ①
由||、||、||成等比數(shù)列，得||²=||•||，
∵=（-5-x，-y），=（5-x，-y），
∴x²+y²=•，整理得：x²-y²=，即x²=y²+②
由①②得：0≤y²＜，
∴=（x²-25）+y²=2y²-
∴∈[，0）．
點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，向量的數(shù)量積，等比數(shù)列，考查等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．