Question

在△ABC中，B(10，0)，直線BC與圓Γ：x²＋(y－5)²＝25相切，切點(diǎn)為線段BC的中點(diǎn)．若△ABC的重心恰好為圓Γ的圓心，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為       ．

Answer 1

(0，15) 或 (－8，－1)

解析試題分析：設(shè)BC的中點(diǎn)為D，設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），則由題意可得ΓD⊥BC，且D（）．故有圓心Γ（0，5）到直線AB的距離ΓD=r=5．
設(shè)BC的方程為y-0=k（x-10），即 kx-y-10k=0．則有，解得 k=0或 k=-．
當(dāng)k=0時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有，
解得，或.再有三角形的重心公式可得，由此可得
或
故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，15）或（-8，-1），
故答案為（0，15）或（-8，-1）．
考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系．
點(diǎn)評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式、斜率公式、三角形的重心公式，屬于中檔題．