Question

江岸邊有一炮臺(tái)高30米，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，則兩條船相距

30

米．

Answer 1

分析：利用直線與平面所以及俯角的定義，化為兩個(gè)特殊直角三角形的計(jì)算，再在底面△BCD中用余弦定理即可求出兩船距離．

解答：解：如圖，過炮臺(tái)頂部A作水平面的垂線，垂足為B，設(shè)A處觀測(cè)小船C的俯角為45°，
設(shè)A處觀測(cè)小船D的俯角為30°，連接BC、BD
Rt△ABC中，∠ACB=45°，可得BC=AB=30米
Rt△ABD中，∠ADB=30°，可得BD=

3

AB=30

3

米
在△BCD中，BC=30米，BD=30

3

米，∠CBD=30°，
由余弦定理可得：
CD²=BC²+BD²-2BC•BDcos30°=900
∴CD=30米（負(fù)值舍去）
故答案為：30．

點(diǎn)評(píng)：本題給出實(shí)際應(yīng)用問題，求炮臺(tái)旁邊兩條小船距的距離．著重考查了余弦定理、空間線面的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．熟練掌握直線與平面所成角的定義與余弦定理解三角形，是解決本題的關(guān)鍵．