Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0），F(xiàn)為拋物線C的焦點，A為拋物線C上的動點，過A作拋物線準(zhǔn)線l的垂線，垂足為Q．
（1）若點P（0，4）與點F的連線恰好過點A，且∠PQF=90°，求拋物線方程；
（2）設(shè)點M（m，0）在x軸上，若要使∠MAF總為銳角，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由題意知：|AQ|=|AF，再依據(jù)A為PF的中點且點A在拋物線上，求得p值，從而得出拋物線方程；
（2）設(shè)A（x，y），y²=2px，根據(jù)題意：∠MAF為銳角根據(jù)向量的數(shù)量積得出：對x≥0都成立
令對x≥0都成立，下面分類討論：（i）若，（ii）若，求得m的取值范圍即可．
解答：解：（1）由題意知：|AQ|=|AF|，∵∠PQF=90°，
∴A為PF的中點，∵，
且點A在拋物線上，代入得⇒
所以拋物線方程為．（5分）
（2）設(shè)A（x，y），y²=2px，
根據(jù)題意：∠MAF為銳角且，
∵y²=2px，所以得對x≥0都成立
令
對x≥0都成立（9分）
（i）若，即時，只要使成立，
整理得：，且，
所以．（11分）
（ii）若，即，只要使成立，得m＞0
所以（13分）
由（i）（ii）得m的取值范圍是且．（15分）
點評：本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的簡單性質(zhì)，同時考查了向量的數(shù)量積，考查了計算能力．