Question

如圖，在棱長為a的正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中，
（1）若以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD₁所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，試寫出B，B₁兩點的坐標．
（2）證明B₁D⊥面A₁BC₁；
（3）求線AC到面A₁BC₁的距離．

Answer 1

分析：（1）根據空間直角坐標系，寫成點的坐標．（2）利用線面垂直的判定定理去證明線面垂直．（3）利用等積法求距離．

解答：解：（1）B（a，a，0）B₁（a，a，a）
（2）易證A₁C₁⊥面DBB₁D₁，∴A₁C₁⊥B₁D，同理可證A₁B⊥B₁D，
又A₁C₁∩A₁B=A₁，∴B₁D⊥面A₁BC₁．
（3）∵AC∥A₁C₁，∴AC∥面A₁BC₁
∴線AC到面A₁BC₁的距離即為點A到面A₁BC₁的距離，也就是點B₁到面A₁BC₁的距離，記為h，
在三棱錐B₁-BA₁C₁中有VB1-BA1C1=VB-A1B1C1，
即

1

3

S△A1BC1•h=

1

3

S△A1B1C1•BB1，
∴h=

3 a

3

．

點評：本題主要考查空間線面垂直的判斷和直線到平面的距離公式，綜合性較強．