Question

1．已知函數f（x）=ax³+bx在x=1處取得極值2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若（m+3）x-x²e^x+2x²≤f（x）對于任意的x∈（0，+∞）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據極值的定義得到關于a，b的方程組，求出a，b的值，從而求出f（x）的表達式；
（Ⅱ）問題等價于m≤xe^x-x²-2x于任意的x∈（0，+∞）成立，設h（x）=xe^x-x²-2x，根據函數的單調性求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函數f（x）=ax³+bx在x=1處取得極值2，
∴$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=3a+b=0\\ f（1）=a+b=2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=3\end{array}\right.$，
∴f（x）=-x³+3x…（5分）
（Ⅱ）∵（m+3）x-x²e^x+2x²≤f（x）對于任意的x∈（0，+∞）成立，
∴（m+3）x-x²e^x+2x²≤-x³+3x
?m≤xe^x-x²-2x于任意的x∈（0，+∞）成立
設h（x）=xe^x-x²-2x，
則h′（x）=e^x+xe^x-2x-2=（x+1）（e^x-2），
令h′（x）=0解得x=ln2，
且當0＜x＜ln2時，h′（x）＜0；
當x＞ln2時，h′（x）＞0，
∴h（x）=xe^x-x²-2x在（0，ln2）上單調遞減，在（ln2，+∞）上單調遞增，
∴$h{（x）_{min}}=h（ln2）=ln2•{e^{ln2}}-{（ln2）^2}-2ln2=-{（ln2）^2}$，
∴m≤-（ln2）²．

點評 本題考查了函數的單調性、極值、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道中檔題．