Question

6．設a為正實數，函數f（x）=ax，g（x）=lnx．
（1）求函數h（x）=f（x）•g（x）的極值；
（2）證明：?x₀∈R，使得當x＞x₀時，f（x）＞g（x）恒成立．

Answer 1

分析 （1）首先求出函數的導數，然后根據導數與單調區(qū)間的關系確定函數的單調區(qū)間，從而求出函數的極值即可；
（2）先求出當直線和y=lnx相切時a的取值，然后進行討論求解即可．

解答 解：（1）h（x）=ax•lnx，（a＞0），
則h′（x）=a（lnx+1），
令h′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，
令h′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
∴h（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞增，
∴h（x）_極小值=h（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{a}{e}$，無極大值；
（2）g（x）=lnx，f（x）=ax，（x＞0），（a＞0）
則g′（x）=$\frac{1}{x}$，當g（x）與f（x）相切時，設切點為（m，lnm），
則切線斜率k=$\frac{1}{m}$，
則過原點且與g（x）相切的切線方程為y-lnm=$\frac{1}{m}$（x-m）=$\frac{1}{m}$x-1，
即y=$\frac{1}{m}$x-1+lnm，
∵g（x）=ax，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{m}=a}\\{-1+lnm=0}\end{array}\right.$，得m=e，a=$\frac{1}{e}$．
即當a＞$\frac{1}{e}$時，ax＞lnx恒成立．
當a=$\frac{1}{e}$時，當x₀≥$\frac{1}{e}$時，
要使ax＞lnx恒成立．得當x＞x₀時，ax＞lnx恒成立．
當0＜a＜$\frac{1}{e}$時，g（x）與f（x）有兩個不同的交點，不妨設較大的根為x₁，當x₀≥x₁時，
當x＞x₀時，ax＞lnx恒成立．
∴?a＞0，?x₀∈R，使得當x＞x₀時，f（x）＞g（x）恒成立．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，構造函數求函數的導數，利用導數是解決本題的關鍵．綜合考查學生的運算和推理能力．