Question

【題目】已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)滿足．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)且與交于不同的兩點(diǎn)、，試問：在軸上是否存在點(diǎn)，使得直線 與直線的斜率的和為定值？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)及定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2） ，定值為1.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由可得，再根據(jù)離心率求得，由此可得，故可得橢圓的方程．（Ⅱ）由題意可得直線的斜率存在，設(shè)出直線方程后與橢圓方程聯(lián)立消元后得到一元二次方程，求出直線 與直線的斜率，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得

，根據(jù)此式的特點(diǎn)可得當(dāng)時(shí)，為定值．

試題解析：

（Ⅰ）依題意得、，，

∴，

解得．

∵，

∴，

∴，

故橢圓的方程為．

（Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn).

當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，它與橢圓只有一個交點(diǎn)，不滿足題意.

因此直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，

由消去整理得

，

設(shè)、，

則，，

∵

，

∴要使對任意實(shí)數(shù)，為定值，則只有，

此時(shí)．

故在軸上存在點(diǎn)，使得直線與直線的斜率的和為定值．