Question

已知．
（１）求的單調(diào)區(qū)間；
（２）證明：當(dāng)時(shí)，恒成立；
（３）任取兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，若存在使成立，證明：．

Answer 1

見解析

（1）g(x)=lnx+，=        （1’）
當(dāng)k0時(shí)，>0，所以函數(shù)g(x)的增區(qū)間為（0，+），無(wú)減區(qū)間；
當(dāng)k>0時(shí)，>0,得x>k；<0，得0<x<k∴增區(qū)間（k,+）減區(qū)間為（0，k）（3’）
(2)設(shè)h(x)=xlnx-2x+e(x1)令= lnx-1=0得x="e," 當(dāng)x變化時(shí)，h(x),的變化情況如表

x	1	(1,e)	e	(e,+)
		－	0	+
h(x)	e－2	↘	0	↗

所以h(x)0, ∴f(x)2x-e                   （5’）
設(shè)G(x)=lnx-(x1) ==0,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),=0所以G(x) 為減函數(shù), 所以G(x)  G(1)="0," 所以lnx-0所以xlnx(x1)成立,所以f(x) ,綜上,當(dāng)x1時(shí), 2x-ef(x)恒成立.
(3) ∵=lnx+1∴l(xiāng)nx₀+1==∴l(xiāng)nx₀=-1
∴l(xiāng)nx₀–lnx=-1–lnx===(10’)
設(shè)H(t)=lnt+1-t(0<t<1), ==>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函數(shù),并且H(t)在t=1處有意義, 所以H(t) <H(1)=0∵∴=
∴l(xiāng)nx0 –lnx>0, ∴x₀>x