Question

已知直線l₁：mx+8y+n=0與直線l₂：2x+my-1=0互相平行，經(jīng)過點(diǎn)（m，n）的直線l與l₁，l₂垂直，且被l₁，l₂截得的線段長為

5

，試求直線l的方程．

Answer 1

分析：根據(jù) l₁∥l₂ ，求得

m

2

=

8

m

≠

n

-1

，由此求出m，n的值，再利用兩直線垂直的性質(zhì)，用點(diǎn)斜式求直線方程，
再化為一般式．

解答：解：∵l₁∥l₂ ，∴

m

2

=

8

m

≠

n

-1

，解得 m=4，n≠-2； 或m=-4，n≠2．
又由題意可得l₁與l₂之間的距離為

5

．
當(dāng)m=4時(shí)，l₁：4x+8y+n=0，即 l₁：2x+4y+

n

2

=0，又 l₂：2x+4y-1=0，故所求直線的斜率為2．
由

| n 2 +1|

2 5

=

5

，可得|

n

2

+1|=10，解得 n=18或n=-22，
所求直線方程為y-18=2（x-4）或y+22=2（x-4），即2x-y+10=0或2x-y-30=0．
當(dāng)m=-4時(shí)，l₁：-4x+8y+n=0，即 l₁：2x-4y-

n

2

=0，又 l₂：2x-4y-1=0，故所求直線的斜率為-2．
由

|- n 2 +1|

2 5

=

5

，可得|-

n

2

+1|=10，n=-18或n=22，
所求直線方程為y+18=-2（x+4）或y-22=-2（x+4），即2x+y+26=0或2x+y-14=0．
綜上，所求直線l的方程為 2x-y+10=0，或2x-y-30=0，或2x+y+26=0，或2x+y-14=0．

點(diǎn)評：本題主要考查兩直線平行的性質(zhì)，兩直線平行、垂直的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用以及用點(diǎn)斜式求直線方程，
體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．