Question

【題目】已知F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0）分別是橢圓C： =1（a＞0）的左、右焦點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若A，B分別在直線x=﹣2和x=2上，且AF1⊥BF1 ．
（�。┊�(dāng)△ABF1為等腰三角形時，求△ABF1的面積；
（ⅱ）求點F1 ， F2到直線AB距離之和的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可得，c=1，則a2﹣b2=c2，即a2﹣3=1，

則a2=4，

∴橢圓C的方程為 ．

（Ⅱ）（�。┯深}意可設(shè)A（﹣2，m），B（2，n），

由AF1⊥BF1，則 ，即（1，﹣m）（﹣3，﹣n）=0，則mn=3，①

由AF1⊥BF1，則當(dāng)△ABF1為等腰三角形時，只能是|AF1|=|BF1|，即 ，

化簡得m2﹣n2=8，②

由①②可得 或 ，

∴ ．

（ⅱ）直線 ，

化簡得（n﹣m）x﹣4y+2（m+n）=0，

由點到直線的距離公式可得點F1，F(xiàn)2到直線AB距離之和為

∵點F1，F(xiàn)2在直線AB的同一側(cè)，

∴

由mn=3，

則m2+n2≥2mn=6，

∴

當(dāng) 或 時，點F1，F(xiàn)2到直線AB距離之和取得最小值 ．

∴點F1，F(xiàn)2到直線AB距離之和取得最小值

【解析】（Ⅰ）由題意可知a2﹣3=1，即可求得a的值，求得橢圓方程；（Ⅱ）（ⅰ）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，即可求得mn=3，由|AF1|=|BF1|，求得m2﹣n2=8，即可求得m和n的值，求得三角形的面積；（ⅱ）直線 ，利用點到直線的距離公式，由點F1，F(xiàn)2在直線AB的同一側(cè)，利用基本不等式的性質(zhì)，即可求得點F1，F(xiàn)2到直線AB距離之和的最小值．